【中学受験】比を制するものは、算数を制する

今回は「比」をテーマにお話ししたいと思います。

中学受験において「比を制するものは、算数を制する」と言っても過言ではないほど、比を理解することは重要です。

これまで算数に苦手意識を持っていた子どもが、比を学び、一気にその苦手意識を払拭することも少なくありません。

中学受験における比の重要性

比が重要な理由を、5つの側面から解説します。

1. 基本的な数学的スキルだから

比は算数の基礎です。

比は数量の関係を理解する上で基本的な概念であり、他の算数の分野だけでなく、将来的な数学（割合、比例、相似、確率など）にも関連しています。

2. 応用問題への応用力が養われるから

比を理解することで、実生活やさまざまな数学的状況において問題解決に役立ちます。

入試問題でも幅広く出題されています。

3. 図形問題でも活躍するから

比は図形の面積や体積を求める際にも重要です。

相似な図形の性質を理解するためには、比の知識が不可欠です。

4. 思考力が向上するから

比を使った問題を解くことで、論理的思考力や問題解決能力が養われます。

特に、比の等式を使った計算や比例関係の理解は、論理的なアプローチを促進します。

5. 入試対策における重要な要素だから

中学受験では、比を使った問題が非常に多いため、しっかりと理解しておくことが必要です。

比を上手に使いこなすスキルが身についていれば、得点源にできる可能性が高まります。

実際の入試問題をご紹介

2024年度入試に出題された入試問題をいくつか紹介します。

仕事算

（解法）

(1) 全体の仕事量を10、12、15の最小公倍数である60とおきます。

A×10時間＝B×12時間＝C×15時間＝60より

Aの仕事量＝60÷10＝6

Bの仕事量＝60÷12＝5

Cの仕事量＝60÷15＝4

したがって、AとCが一緒に仕事をすると、60÷(6＋4)=6時間となります。

A. 6時間

(2) 最初の1時間あたりの3人の仕事量の和は

6 + 5 + 4 = 15です。

途中からBとCの1時間あたりの仕事量の和は

5 + 4 = 9です。

かかった合計の時間は5時間30分なので、もし全て2人で仕事したら

9 × 5.5 = 49.5 仕事ができることになります。

実際は60のため、3人の仕事量とBとC2人の仕事量の差で割ります。

(60 – 49.5) ÷ (15 – 9) = 3.75時間

したがって、3人で仕事をしたのは1時間45分で、Aさんが仕事をしたのも1時間45分となります。

A. 1時間45分

仕事算の典型的な問題ですが、算数が苦手な生徒がこれを比を使わずに分数で処理しようとすると手間がかかり、ミスも誘発します。

比を使えば計算は整数で処理できるため、かなり楽になります。

カリキュラムによっては分数での処理を学習し、比の学習を終えてから解法を変えるケースもありますが、私は最初から処理しやすい比を使って、比を学習していない生徒にも導入するようにしています。

テキストを教えるのではなく、テキストを使って何をできるようになりたいのかを明確にすることが重要です。

もう一題は難問ではありませんが、面白い問題としてこちらを紹介します。

割合と比の文章題

（解法）

比の問題では、一定のものに注目するのが基本です。

以下に（1）と（2）の解法を確認します。

(1) （あ）のとき、残金の比が3:1なので、

姉の残金は250×3＝750円になります。

また同額を支払うとき、二人の差は一定で変わらないため、

750 – 250 = 500です。

A. 500円

(2) （い）の場合

姉の所持金 – A + 妹の所持金 – B = 姉の所持金 + 妹の所持金 – (A + B)

（う）の場合

姉の所持金 – B + 妹の所持金 – A = 姉の所持金 + 妹の所持金 – (A + B)

（い）と（う）の残金が等しいことがわかります。

（い）のときの姉の残金：妹の残金 = 3:2

（う）のときの姉の残金：妹の残金 = 9:1

上記の和の5と10は等しくなるので比を10にそろえます。

（い）のときの姉の残金：妹の残金 = 6:4

（う）のときの姉の残金：妹の残金 = 9:1

したがって、残金は4倍とわかります。

A. 4倍

まとめ

比の理解は中学受験を突破するためだけでなく、その後の数学学習においても非常に重要です。

しっかりと基礎を固め、応用力を身につけていきましょう。